Matematika Kelas 11 | Posisi Poin dan Garis Lurus Melawan Lingkaran


Matematika Kelas 11 | Posisi Poin dan Garis Lurus Melawan Lingkaran

lingkaran

Artikel Matematika kelas XI ini menjelaskan posisi (posisi) suatu titik dan garis pada sebuah lingkaran.

Di tingkat SMP, Anda telah belajar tentang lingkaran. Mulai dari mengenal berbagai macam bagian lingkaran hingga cara menghitung luas bangunan. Di dalam lingkaran, ada nama pusat dan juga jari-jarinya. Apakah ada yang masih ingat arti keduanya? Titik tengah adalah titik yang tepat di tengah lingkaran. Oleh karena itu, koordinat titik pusat adalah (0,0). Sementara itu, jari-jari lingkaran adalah garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan satu titik pada garis lengkung lingkaran. Anda juga belajar rumus menghitung jari, ya.

lingkaran

P = pusat lingkaran, r = jari-jari lingkaran

Baik pusat maupun jari-jarinya, Anda pasti bisa mengetahui posisi atau lokasi dengan jelas. Lalu, saudara, ada beberapa pertanyaan. Bagaimana jika ada titik yang terletak tidak di tengah lingkaran? Atau, bagaimana jika ada garis lurus pada lingkaran yang tidak kita ketahui dengan jelas, apakah itu memotong lingkaran atau bersinggungan dengan lingkaran?

Nah, teman-teman, sebenarnya pertanyaan di atas adalah apa yang akan kita bahas dalam artikel ini, yaitu untuk mengetahui posisi atau lokasi suatu titik dan garis lurus pada sebuah lingkaran. Oke, mari kita lihat diskusi di bawah ini.

posisi titik pada lingkaran

Posisi titik pada lingkaran dibagi menjadi tiga kondisi, yaitu titik ada di dalam lingkaran, titik di luar lingkaran, dan titiknya ada di garis lengkung lingkaran. Sebenarnya, lokasi titik-titik pada lingkaran ini dapat dengan mudah dilihat jika digambar pada bidang Cartesians. Tetapi, metode ini kurang efektif karena membutuhkan waktu yang cukup lama. Apalagi jika digunakan dalam ujian nanti. Cara lain kita dapat mengetahui posisi titik-titik ini tanpa harus menggambarnya adalah dengan menggunakan rumus untuk persamaan lingkaran.

Ada tiga jenis umum persamaan lingkaran. Penentuan lokasi suatu titik pada lingkaran tergantung pada setiap bentuk persamaan.

1. Posisi titik pada lingkaran dengan bentuk umum x2 + y2 = r2

Dalam bentuk persamaan x2 + y2 = r2, lingkaran memiliki titik pusat pada O (0,0) dan panjang jari-jari r. Misalkan ada satu poin, yaitu Q (x1, y1). Posisi titik Q sehubungan dengan lingkaran x2 + y2 = r2 adalah sebagai berikut:

posisi titik pada lingkaran

Agar Anda dapat lebih mudah memahami tujuan rumus di atas, mari kita coba melakukan beberapa contoh masalah di bawah ini.

Contoh soal:

1. Tentukan posisi atau posisi titik (5,2) sehubungan dengan lingkaran x2 + y2 = 25!

2. Titik (8, p) terletak tepat di lingkaran x2 + y2 = 289 jika p bernilai?

Diskusi:

1. Dalam persamaan x2 + y2 = 25 nilai r2 = 25 diketahui. Untuk menentukan posisi titik (5.2) sehubungan dengan lingkaran x2 + y2 = 25, kita dapat langsung mengganti titik itu ke dalam persamaan lingkaran. Jadi, (x, y) = (5.2). x2 + y2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29. Ternyata, hasil x2 + y2> r2 menunjukkan bahwa titik (5.2) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25.

2. Kondisi untuk titik yang persis berada di lingkaran adalah x2 + y2 = r2. Kami mengganti titik (8, p) ke dalam persamaan x2 + y2 = 289, jadi

x2 + y2 = 289

82 + p2 = 289

64 + p2 = 289

p2 = 225

p = 15 atau -15. Jadi, untuk titik (8, p) berada tepat di lingkaran x2 + y2 = 289, nilai p harus 15 atau -15.

2. Posisi titik-titik pada lingkaran dengan bentuk umum (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

Dalam bentuk persamaan ini, lingkaran memiliki titik pusat di P (a, b) dan panjang jari-jari r. Misalnya, ada satu titik, yaitu Q (x1, y1). Posisi titik Q sehubungan dengan lingkaran (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 adalah sebagai berikut:

posisi titik pada lingkaran "width =" 600 "style =" width: 600px; margin: 0px otomatis

Contoh soal:

Tentukan posisi titik (3,5) pada lingkaran dengan persamaan (x-3) 2 + (y-2) 2 = 16!

Diskusi:

Seperti dalam diskusi pada pertanyaan nomor 1 sebelumnya, lokasi titik (3,5) pada lingkaran (x + 3) 2 + (y-2) 2 = 16 dapat diketahui dengan mengganti titik dalam persamaan lingkaran, sehingga (x-3) 2 + (y-2) 2 = (3-3) 2 + (5-2) 2 = 0 + 32 = 9. Nilai (x + 3) 2 + (y-2) 2 <r2. Berarti, titik (3,5) terletak di lingkaran (x-3) 2 + (y-2) 2 = 16.

3. Posisi titik pada lingkaran dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Persamaan lingkaran dengan bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 memiliki titik pusat di dan jari-jari r = . Sebenarnya, bentuk persamaan ini adalah hasil dari terjemahan bentuk (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2. Misalnya, ada titik pada lingkaran, yaitu Q (x1, y1). Posisi titik Q sehubungan dengan lingkaran x2 + y2 + Kapak + By + C = 0 adalah sebagai berikut:

posisi titik pada lingkaran "width =" 600 "style =" width: 600px; margin: 0px otomatis

Sekarang, kami mencoba melakukan masalah di bawah ini.

Contoh soal:

Tentukan nilai m sehingga titik (2, m) terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0!

Diskusi:

Untuk titik (2, m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, kondisi yang harus dipenuhi adalah x2 + y2 + Ax + By + C> 0. Oleh karena itu, kami mengganti titik (2 , m) ke dalam persamaan x2 + y2 + Ax + By + C> 0 menjadi sebagai berikut:

x2 + y2 + Kapak + Oleh + C> 0

22 + m2 + 4 – 6m -15> 0

4 + m2 + 4 – 6m – 15> 0

m2 – 6m – 7> 0

(m – 7) (m + 1)> 0

m> 7 atau m> -1

Jadi, sehingga poin (2, m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, nilai m yang memenuhi adalah m> 7 atau m> -1.

Nah, sobat, paham ya dengan penjelasan di atas. Sekarang, mari kita beralih ke diskusi tentang posisi garis lurus ke lingkaran. Cus, luncurkan!

posisi garis pada lingkaran

Seperti dengan diskusi sebelumnya, posisi garis sehubungan dengan lingkaran dibagi menjadi tiga kondisi, yaitu garis memotong lingkaran di kedua titik yang berbeda, garis menyinggung lingkaran pada satu titik, dan garis tidak memotong atau menyinggung lingkaran.

Misalnya, ada garis lurus dengan persamaan y = mx + n dan sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + Dengan + C = 0. Posisi garis pada lingkaran dapat kita temukan menggunakan nilai diskriminannya. Diskriminan (D = b2 – 4ac) diambil dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari substitusi persamaan garis dengan persamaan lingkaran.

posisi garis pada lingkaran

Contoh soal:

Tentukan posisi garis y = 3x – 1 sehubungan dengan lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0!

Diskusi:

Pertama, kita menemukan persamaan kuadrat dengan mensubstitusi persamaan garis y = 3x – 1 ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0, sehingga:

x2 + (3x – 1) 2 + 2x + 2 (3x – 1) – 4 = 0

x2 + 9×2 – 6x + 1 + 2x + 6x – 2 – 4 = 0

10×2 + 2x – 5 = 0

Setelah kami mendapatkan persamaan kuadrat, kami menemukan nilai diskriminan sebagai berikut:

10×2 + 2x – 5 = 0, a = 10, b = 2, c = -5.

D = b2 – 4ac

D = 22 – 4 (10) (- 5)

D = 22 + 200 = 222> 0

Karena nilai diskriminan lebih besar dari 0, garis y = 3x – 1 terletak di dalam x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0 lingkaran.

Bagaimana ini? Semoga Anda mengerti ya dengan penjelasan di atas. Nah, di bawah ini Anda masih memiliki beberapa pertanyaan yang dapat digunakan sebagai pelatihan Anda. Ingat, belajar matematika membutuhkan banyak latihan agar materi yang Anda pelajari dapat lebih mudah diserap.

lingkaran "width =" 600 "style =" width: 600px; margin: 0px otomatis

Oke, kami sudah menyelesaikan diskusi kami kali ini. Saya harap artikel ini dapat membantu Anda dalam memahami materi tentang posisi titik dan garis dalam lingkaran, ya. Ehm, tapi, kalau misalnya Anda masih belum jelas dengan penjelasan di atas, Anda juga bisa benar-benar menggunakan aplikasi tersebut Kamar guru yang lainnya, yaitu ruang belajar. Belajar lebih mudah dan lebih menyenangkan dengan semua Guru Guru yang menyenangkan.


Like it? Share with your friends!

0

0 Comments

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may also like

More From: Ruang Guru

DON'T MISS